ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Das ist eine Polynomfunktion 5. Grades. Warum wohl?

Im Arbeitsblatt unten findest du 5 Polynomfunktionen. f1 ist eine Polynomfunktion 1. Grades, f2 hat Grad 2 u.s.w. Die einzelnen Funktionen lauten:

  • f1(x) = ax + b
  • f2(x) = ax2 + bx + c
  • f3(x) = ax3 + bx2 + cx + d
  • f4(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
  • f5(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f

Am Anfang ist nur f1 sichtbar, alle anderen sind ausgeblendet. Du kannst mit einem Klick auf ein Kontrollkästchen jede Funktion aus- und einblenden.

Die Werte für a bis f lassen sich mit den Reglern am Zeichenblatt verändern! Die Regler a und b gelten für f1, für jede folgende kommt ein Regler dazu. Für f5 gelten alle Regler von a bis f.

Du kannst mit einem Rechtsklick auf eine leere Stelle im Zeichenblatt die Darstellung zoomen. Der %-Wert betrifft die derzeitigen Anzeige.

Schreibe die Antworten auf folgende Fragen in dein Heft (Schulübung):

  1. Wie viele Nullstellen kann eine Polynomfunktion 1., 2., 3., … n. Grades höchstens haben?
  2. Wie viele lokale Extremwerte (Minima und Maxima, also „Berge und Täler“) kann eine Polynomfunktion 1., 2., 3., … n. Grades höchstens haben?
  3. Welche Gemeinsamkeiten gibt es zwischen allen Polynomfunktionen, deren Grad ungerade ist?
  4. Welche Gemeinsamkeiten gibt es zwischen allen Polynomfunktionen, deren Grad gerade ist?

Stimmt das?

Die folgenden Behauptungen sind entweder wahr oder falsch. Schreibe jede wahre Behauptung in dein Heft. Stelle jede falsche Behauptung richtig und schreibe sie auch in dein Heft.

  1. Jede Polynomfunktion ist über ganz R definiert.
  2. Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle.
  3. Eine Polynomfunktion geraden Grades hat nicht immer eine Nullstelle.
  4. Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens einen lokalen Extremwert.
  5. Eine Polynomfunktion geraden Grades hat mindestens einen lokalen Extremwert.

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Michael Frankenstein, 19. 4. 2007, Erstellt mit GeoGebra